1- Razón
Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como:
Ejemplo:
En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?
La relación entre el número de mujeres y el número de hombres es de «10 es a 18» , otra forma de leerlo es «10 de 18 »
El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.
El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón
Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.
1.1- Resolución de problemas:
Veamos cómo resolver problemas de razones:
Ejemplo 1:
La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.
Solución:
Si las edades son a y b
Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:
Ahora volvemos a los datos del problema:
Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:
Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será » X» . Por lo tanto :
Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:
Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :
Respuesta: Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54.
Ejemplo 2:
El perímetro de un rectángulo mide 128 cm, y la razón entre las medidas de sus lados es 5: 3. Calcula el área del rectángulo.
Solución:
Siguiendo el procedimiento del problema anterior planteamos el problema en una ecuación. Sabemos que el perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados:
Si expresamos las variables dadas en el problema:
Ahora reemplazamos y resolvemos:
Con este resultado reemplazamos :
Ahora no nos debemos olvidar que nos están pidiendo el área del rectángulo. Sabemos que el área del rectángulos se calcula :
A = a • b
Por lo tanto la respuesta sería :
A = 40 • 24 = 960
Respuesta: El área del rectángulo es 960 cm2
Otra forma de resolver razones es siguiendo los siguientes pasos:
Respuesta: Hay 12 automóviles
Ahora resuelve los siguientes problemas, siguiendo los pasos anteriores: (haz clic tres veces para comprobar tu respuesta)
2- Proporciones
Una proporción es la igualdad de dos razones.
2.1- Propiedad fundamental
En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos (Teorema fundamental de las proporciones). Es decir:
3- Regla de tres
La regla de tres es un procedimiento que consiste en encontrar el cuarto término de una proporción, a la que solo se le conocen tres términos.
Ejemplo: Encuentra el valor de X, para que las razones formen una proporción:
Puede ser simple cuando solamente intervienen en ella dos variables o compuesta cuando intervienen tres o más variables.
Toda regla de tres presenta una incógnita y una hipótesis. La hipótesis está constituida por los datos del problema que se conocen y la incógnita por el dato que se busca.
Veamos el siguiente ejemplo:
Las edades de un hijo y su madre están en la razón 2 : 5. Si la edad de la madre es 45 años, ¿cuál es la edad del hijo?
Se puede plantear una proporción y al aplicar la regla de 3 se determina la edad del hijo.
x45=25
x · 5 = 45 · 2 5x = 90 x = 905 x = 18
Entonces, la edad del hijo es 18 años.
De acuerdo a la relación con la incógnita, puede ser directa cuando los aumentos en una variable provocan aumento en la otra variable o inversa cuando los aumentos en una variable provocan disminución en la otra variable.
