Media, moda, mediana y rango

 

La media aritmética es la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos. Se calculan dependiendo de cómo vengan ordenados los datos.

 

Ejemplo

 

¿Cuál es la media de las edades de Andrea y sus primos?

 

 

Así, la media de las edades de Andrea y sus amigos:

$Media =\frac{3+5+6+8+9+9+9}{7}=\frac{49}{7}=7$

La media de edad es de 7 años.
 

La media aritmética de un grupo de datos se calcula así: Se debe multiplicar cada dato con su respectiva frecuencia, sumar todos estos productos, y el resultado dividirlo por la suma de los datos.

 

 

Ejemplo

Se ha anotado el número de hermanos que tiene un grupo de amigos. Los datos obtenidos son los siguientes:
 

Hermanos:  1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4

 

Si hacemos el recuento de los datos y seguimos los pasos anteriormente descritos, tenemos:

 

Nº de hermanos	1	2	3	4
Nº de veces	4	3	2	1

 

$$\begin{gathered} 1º) 1·4+2·3+3·2+4·1= 20 \\ 2º) Nº de datos: 4+3+2+1=10 \Rightarrow 20÷10=2 \\ La media de los datos es 2. \end{gathered}$$

 

 

 

La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. Se denota por Mo. En caso de existir dos valores de la variable que tengan la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda.

 

Ejemplo

¿Cuál es el dato que más se repite en el ejemplo anterior?

El dato que más se repite es el 1,  es el que tiene mayor frecuencia absoluta (4 veces).

 

 

 

Ejemplo

 

 

 

Ejemplo

 

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9    M_o= 1, 5, 9

 

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

 

Ejemplo

 

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8      M_o = 4

 

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

 

 

3- La mediana 
 

La mediana es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores del conjunto de datos, cuando estos están ordenados en forma creciente o decreciente. 

 

La mediana se representa por  Me.

 

 

1° Ordenamos los datos de menor a mayor.

– La mediana de un conjunto con un número impar de datos es, una vez ordenados los datos, el dato que ocupa el lugar central.

 

Ejemplo

Calcular la mediana del conjunto de datos:

 

 

 

 

– La mediana de un conjunto con un número par de datos es, una vez ordenados, la media de los dos datos centrales.

 

Ejemplo

Calcular la mediana del conjunto de datos:

 

 

 

 

El rango da la idea de proximidad de los datos a la media. Se calcula restando el dato menor al dato mayor.

Este dato permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.

 

Ejemplo

 

Se resta el dato mayor al dato menor:  3 – 0 = 3;  por lo tanto, el rango sería 3 en este caso.

 

Si el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso, o bien, si el rango es muy amplio, es conveniente agruparlos y ordenarlos en intervalos o clases.

 

La amplitud o tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener.

Veamos la siguiente situación:
Las muestras corresponden a la cantidad de perfumes que se vendieron en 2 tiendas seleccionadas al azar.
 

 

Cantidad de perfumes vendidos en una semana en la tienda A
Lun	Mar	Mie	Jue	Vie	Sáb	Dgo
13	26	18	21	24	33	30

 

Cantidad de perfumes vendidos en una semana en la tienda B
Lun	Mar	Mie	Jue	Vie	Sáb	Dgo
20	19	24	21	36	60	42

 

Calcularemos la mediana y la moda.
Al ordenar los datos de manera creciente se obtiene:

Tienda A = 13 – 18 – 21 – 24 – 26 – 30 – 33  
Valor mínimo: 13
Valor máximo: 33
Rango: 33 – 13 = 20
Mediana: 24

Tienda B = 19 – 20 – 21 – 24 – 36 – 42 – 60  
Valor mínimo: 19
Valor máximo: 60
Rango: 60 – 19 = 41
Mediana: 24

En la tienda B, el rango es un valor más grande, lo que indica que hay una mayor dispersión o diferencia entre el valor mínimo y máximo.

Como puedes observar, a pesar de que las variaciones entre ambas muestras son variadas la mediana es la misma.
 

 

5- Apliquemos lo aprendido

5.1- Lee la siguiente situación:

Las notas que obtuvo Elena en Ciencias Naturales durante el primer semestre del año se muestran a continuación:
 

7,0 – 5,5 – 6,0 – 6,5 – 4,5 – 5,0 – 6,0 – 5,5 – 6,0 – 5,0

Calcula:
a- Media aritmética
b- Mediana
c- Moda
 

5.2- Cristóbal obtuvo las siguientes notas en Inglés:

5,3 – 6,4 – 4,5 – 5,6 – 5,0 – 6,0 – 5,7

 

¿Qué nota debe obtener en la última prueba para terminar el semestre con un 5,6 como promedio?

Solucionario
5.1
a- Media aritmética: se suman todas las notas y se divide el resultado por la cantidad total de datos.

$\overline{x}=\frac{7,0 + 5,5 + 6,0 + 6,5 + 4,5 + 5,0 + 6,0 + 5,5 + 6,0 + 5,0}{10}= \frac{57}{10}=5,7$
 

$\overline{x}=5,7$

 

 

b- Mediana: para calcularla se ordenan los datos de manera creciente o decreciente. Como el número de datos es par, la mediana es el promedio de los datos centrales.

4,5 – 5,0 – 5,0 – 5,5 – 5,5 – 6,0 – 6,0 – 6,0 – 6,5 – 7,0

Promediamos los datos centrales:

$\overline{x}=\frac{5,5 + 6,0}{2}= \frac{11,5}{2}=5,75$

M_e = 5,75

 

c- Moda: es aquel dato con mayor frecuencia absoluta.
En este caso el dato que más se repite es 6,0. (Se repite 3 veces).

M_o = 6,0

5.2
Podemos registrar los datos y construir una ecuación:
$\overline{x}=5,6$

x= nota desconocida.

Consideramos 8 datos.

$5,6=\frac{5,3 + 6,4 + 4,5 + 5,6 + 5,0 + 6,0 + 5,7 + x}{8}$

Despejamos multiplicando por 8 y sumamos las notas parciales.

$$\begin{gathered} 5,6 · 8 =5,3 + 6,4 + 4,5 + 5,6 + 5,0 + 6,0 + 5,7 + x \\ 44,8 =\hspace{0.17em}38,5 + x \end{gathered}$$

 

Despejamos la incógnita:

$$\begin{gathered} 44,8 – 38,5 =\hspace{0.17em}x \\ 6,3 = x \end{gathered}$$
 

Respuesta: Debe obtener un 6,3 en la última prueba para tener un promedio 5,6.

 

En la tabla y el gráfico se representa la cantidad de horas diarias que trabaja un grupo de personas escogidas al azar.

Tabla:

Horas de trabajo	Frecuencia absoluta (fi)	Frecuencia absoluta acumulada (Fi)
5	6	6
6	8	14
7	12	26
8	16	42
9	12	54

 

Gráfico de barras:

A- Media aritmética
Para calcular la media aritmética a partir de un gráfico, primero multiplicas la frecuencia absoluta por el valor de cada dato:

6 $·$ 5 = 30
8  $·$ 6 = 48
12 $·$ 7 = 84
16 $·$ 8 =  128
12 $·$ 9 = 108

Luego, sumas los valores y los divides por la cantidad total de datos.

 

$\frac{30 +48 + 84 + 128 + 108 }{54} =\hspace{0.17em}\frac{398}{54} = 7,37$

 

 

B. Mediana
Para calcular la mediana, debes observar si la cantidad de datos es par o impar. Como es par, entonces hay dos datos centrales, cuya posición está dada por:

$\frac{n}{2}=\frac{54}{2}=27$

$\frac{n}{2}+1 =28$

En la columna Fi encuentra la posición 27 y 28. La frecuencia que las contiene es 8.

 

Horas de trabajo	Frecuencia absoluta (fi)	Frecuencia absoluta acumulada (Fi)
5	6	6
6	8	14
7	12	26
8	16	42
9	12	54

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