Área y volumen del cono

1- ¿Qué es el cono?

El cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.

1.1- Elementos del cono
En el dibujo de arriba podemos distinguir los elementos de un cono recto:

– Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo ABC.
– Base: es el círculo que se genera producto de la rotación  del otro cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio del cono. La base se simboliza: O (A, AB).
– Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como manto del cono.
– Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular a la base.

El cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal y un vértice llamado cúspide.

1.2- Tipos
Si la altura coincide con su eje, el cono es recto. Si el eje y la altura no coinciden, el cono es oblicuo.

1.3- Área de un cono

El área de un cono (A) puedes obtenerla al visualizar su red de construcción y la calculas utilizando:

A_cono = A_base + A_lateral

= π r² + π r g

= π r (r + g)

Donde:

r es el radio de la base.

g la generatriz del cono.

Además, g² = r² + h²

Ejemplo:

Calcula el área del cono. Considera π ≈ 3,14.

Al observar la imagen, se tiene que r = 9 cm y g = 15 cm.

Luego, al calcular el área, se tiene que:

A = π r (r + g)

A =  π 9 (9 + 15) cm²

= π 9 (24) cm²

= 216 π cm²

= 678, 24 cm²

Respuesta: El área del cono es 678, 24 cm²

En el caso que se conozca el ángulo central del manto, su área lateral la calculamos con la fórmula del área de un sector circular:

área lateral =

πr2α360°

Donde:

r = generatriz del cono.

Ejemplo:

Calcula el área de un cono de radio 3 y ángulo central del manto igual a 120°
Considerando:

Acono=Abase+Alateral

Obtendremos el área lateral usando la fórmula del área de sector circular :

π·r2·α360°

Se tiene

r = 3 cm

y

α=120°

, reemplazando:

Árealateral=π·r2·α360°Árealateral=π·32·120°360°Árealateral=π·9·120°360°Árealateral=π·93Árealateral=3πcm2

Obtendremos el área basal usando la fórmula del área del círculo

π·r2

Áreabasal=π·32Áreabasal=9πcm2

Finalmente, el área del cono será:

Acono=Abase+AlateralAcono=9π+3πAcono=12 π cm2

1.4- Cálculo del área del cono de generatriz desconocida

Para calcular el área (A) de un cono utilizas la expresión

A = π r (r + g)

Ejemplo: El radio mide 4 cm y la altura, 3 cm. Calcula la medida de la generatriz.

El radio r mide 4 cm,  y la altura h mide 3 cm por lo que falta calcular la medida de la generatriz g. Para calcularla se utilizará el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC.

Luego, el área corresponde a:

A = 4 π (4 + 5) cm² = 36 π cm² y al considerar π ≈ 3,14, se tiene que es aproximadamente 113,04 cm².

Respuesta: El área del cono es 36 π cm² y al considerar π ≈ 3,14; se tiene que aproximadamente es: 113,04 cm².

2- Volumen de un cono

El volumen (V) de un cono corresponde a un tercio del volumen de un cilindro con igual área de la base e igual medida de la altura.

Sea un cono de radio r y altura h, su volumen (V) se encuentra dado por la expresión:

Ejemplo1: Calcula el volumen de un cono si su altura mide 12 cm y su radio mide 5 cm.

Al calcular el volumen del cono remplazas r = 5 cm y h = 12 cm en la expresión:

Vcono=13·πr2hVcono=13·π·52·12Vcono=13·25·12Vcono=13·300πcm3Vcono=100πcm3

Respuesta: El volumen del cono, es

100 π cm3

y considerando

π ≈ 3,14

, el volumen es aproximadamente

314 cm3

.

Ejemplo 2: Calcula el volumen de un cono si su generatriz mide 15 cm y su radio mide 9 cm.

Al aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la medida de la altura del cono, se tiene que:

Luego, la medida de la altura del cono es 12 cm.

Al calcular el volumen del cono remplazas r = 9 cm y h = 12 cm en la expresión:

Respuesta: El volumen del cono, es 324 π cm³ y considerando π ≈ 3,14, el volumen es aproximadamente 1.017,36cm³.

El volumen (V) corresponde al espacio que ocupa un cuerpo. Algunas unidades de medida de volumen son:

– km³ (kilómetro cúbico)

–  m³ (metro cúbico)

–  cm³ (centímetro cúbico)

3- Volumen de un cono truncado

En el caso de un cono truncado, el volumen se puede calcular como la diferencia entre el volumen del cono, como si estuviera completo, y el cono menor que lo complementa, es decir:

Utilizando el teorema de Thales, se puede demostrar que el volumen del cono  truncado está dado por la expresión:

Donde R y r son los radios de las bases y h es la altura del cono truncado.

Ejemplo: Halla el volumen del tronco de cono.

Desarrollo:

El volumen del tronco del cono viene dado por la diferencia del volumen del cono total y el cono deficiente.