Adición y sustracción de números racionales

1- Adición y sustracción de números racionales

Para suma y resta de números racionales se realiza el mismo procedimiento que ya has estudiado en cursos anteriores para las fracciones y números decimales.

Para sumar o restar números decimales infinitos periódicos o semiperiódicos debes transformarlos a fracción para poder sumarlos con otro número racional.

1.1- Adición y sustracción de fracciones con igual denominador

Para sumar fracciones con igual denominador, se conserva el denominador y se suman los numeradores. Siendo a, b, c diferentes a 0, lo podemos representar de la siguiente forma;

$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b}$

Ejemplos:

$\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{3+2}{8}=\frac{5}{8}$

$\frac{5}{9}–\frac{7}{9}=\frac{5–7}{9}=–\frac{2}{9}$

1.2- Adición y sustracción de fracciones con distinto denominador

Para sumar fracciones con distinto denominador, se igualan los denominadores de las fracciones, buscando el mínimo común múltiplo entre los denominadores y amplificando cada fracción por el número que corresponda. Luego, se realiza la adición o sustracción de la misma forma que en el caso anterior (igual denominador).

En el caso que sean 2 fracciones, siendo a, b, c, d diferentes a 0, lo podemos representar de la siguiente forma;

$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{a·d\pm b·c}{b·d}$

Ejemplos: 

$\frac{3}{7}+\frac{2}{5}=\frac{3·5+7·2}{7·5}=\frac{15+14}{35}=\frac{29}{35}$

$\begin{array}{rcl}\left(\frac{9}{10}+\frac{7}{8}\right)–\frac{2}{5}& =& \frac{9·8+10·7}{10·8}–\frac{2}{5}\\ & =& \frac{72+70}{80}–\frac{2}{5}\\ & =& \frac{142}{80}–\frac{2}{5}\\ & & m.c.m entre 80 y 5 es 80;\\ & =& \frac{142}{80}– \left(\frac{2·16}{5·16}\right)\\ & =& \frac{142}{80}–\frac{32}{80}\\ & =& \frac{142–32}{80}\\ & =& \frac{{\cancel{110}}^{:10}}{{\cancel{80}}^{:10}}\\ & =& \frac{11}{8}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\left(1,\overline{7}–\frac{5}{3}\right)+\frac{1}{6}& =& \left(\frac{17–1}{9}–\frac{5}{3}\right)+\frac{1}{6}\\ & =& \left(\frac{16}{9}–\frac{5}{3}\right)+\frac{1}{6}\\ & =& \left(\frac{16}{9}–\frac{5·3}{3·3}\right)+\frac{1}{6}\\ & =& \left(\frac{16}{9}–\frac{15}{9}\right)+\frac{1}{6}\\ & =& \left(\frac{16–15}{9}\right)+\frac{1}{6}\\ & =& \frac{1}{9}+\frac{1}{6}\\ & & m.c.m entre 9 y 6 es 18;\\ & =& \frac{1·2}{9·2}+\frac{1·3}{6·3}\\ & =& \frac{2}{18}+\frac{3}{18}\\ & =& \frac{5}{18}\end{array}$

1.3- Propiedades de la adición en los números racionales

En la adición de números racionales se cumplen las propiedades de clausura, asociatividad, Conmutividad, elemento neutro y elemento opuesto.

a) Clausura: 
Quiere decir que si sumamos 2 números racionales, el resultado será un número racional. Por lo tanto, el conjunto de números racionales $\left(\mathrm{\mathbb{Q}}\right)$ es cerrado para la adición.

$a,b\in \mathrm{\mathbb{Q}}\Rightarrow a+b=k;k\in \mathrm{\mathbb{Q}}$

Ejemplo:

$\frac{1}{3}+\frac{5}{6}=\frac{2+5}{6}=\frac{7}{6}$

Entonces; $\frac{1}{3}$ y $\frac{5}{6}$ son números racionales y su suma, que es $\frac{7}{6}$, también es un número racional.

b) Asociativa:
Quiere decir que independiente de como se agrupen los números racionales dentro de la suma, el resultado será el mismo.

$\left(a+b\right)+c=a+(b+c)$

Ejemplo:

$\begin{array}{rcl}\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{5}& =& \frac{2}{3}+\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\right)\\ \left(\frac{2·2+3·1}{3·2}\right)+\frac{2}{5}& =& \frac{2}{3}+\left(\frac{1·5+2·2}{5·2}\right)\\ \left(\frac{4+3}{6}\right)+\frac{2}{5}& =& \frac{2}{3}+\left(\frac{5+4}{10}\right)\\ \frac{7}{6}+\frac{2}{5}& =& \frac{2}{3}+\frac{9}{10}\\ \frac{7·5+6·2}{6·5}& =& \frac{2·10+3·9}{3·10}\\ \frac{35+12}{30}& =& \frac{20+27}{30}\\ \frac{47}{30}& =& \frac{47}{30}\end{array}$

c) Conmutativa:
Quiere decir que puede variar el orden de los números racionales y el resultado será el mismo.

$a+b=b+a$

Ejemplo:

$\begin{array}{rcl}\frac{5}{7}+\frac{1}{2}& =& \frac{1}{2}+\frac{5}{7}\\ \frac{5·2+7·1}{7·2}& =& \frac{1·7+2·5}{2·7}\\ \frac{10+7}{14}& =& \frac{7+10}{14}\\ \frac{17}{14}& =& \frac{17}{14}\\ & & \end{array}$

d) Elemento opuesto o inverso aditivo:
El cero es el número racional que tiene un efecto neutro en la adición.

$a+0=a$

Ejemplo:

$\frac{1}{9}+0=\frac{1}{9}$

e) Elemento opuesto:
El opuesto de un número racional a, es otro número racional –a, que sumados el resultado es 0.

$a+\left(–a\right)=0$

Ejemplo:

$\frac{3}{5}+\left(–\frac{3}{5}\right)=\frac{3–3}{5}=0$